catatan dedes: Matrix laboratory

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Logika dan pemrograman computer merupakan salah satu mata kuliah di Program Studi Matematika dengan bahasa pemrograman Matlab. Mata kuliah ini disajikan pada semester II yang meliputi pembahasan mengenai algoritma, logika dan bahasa pemrograman, matematika sederhana, operasi array, fungsi M-file, system GUI, Graphic, Simulink dan control sistem. Logika dan pemrograman komputer sangat ditunjang oleh mata kuliah tertentu khususnya kalkulus karena dalam pemrograman komputer sangat diperlukan pemahaman di bidang matematika sederhana dan matematika model.

Bahasa pemrograman sebagai media untuk berinteraksi antara manusia dengan computer dewasa ini dibuat agar semakin mudah dan cepat. Banyak bahasa pemrograman yang bisa digunakan dalam pemecahan masalah keteknikan, seperti C++, Pascal, Delphi, Visual basic, Java dan yang lainnya. Semua itu mampu membantu kita dalam berinteraksi dengan computer dan masalah keteknikan.

Matlab dikembangkan sebagai bahasa pemrogrman sekaligus alat visualisasi yang menawarkan banyak kemampuan untuk menyelesaikan berbagai kasus yang berhubungan langsung dengan matematika, rekayasa teknik, fisika, statistika, komputasi dan modeling. Matlab dibangun dari bahasa induknya yaitu bahasa C, namun tidak dapat dikatakan sebagai varian dari C, karena dalam sintak maupun cara kerjanya sama sekali berbeda dengan C. Namun dengan hubungan langsungnya terhadap C, Matlab memiliki kelebihan-kelebihan bahasa C bahkan mampu berjalan pada semua platform Sistem Operasi tanpa mengalami perubahan sintak sama sekali.

Matlab merupakan singkatan dari Matric Laboratory, yakni merupakan bahasa pemrograman high performance, bahasa pemrograman level tinggi yang khususnya untuk komputasi teknis. Bahasa ini mengintegrasikan kemampuan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan.

MATLAB atau MATrix LABoratory merupakan suatu bahasa program komputer dan sekaligus bahasa pemrograman komputer generasi ke-empat yang dikembangkan oleh Grup MathWorks untuk keperluan bidang komputasi numeris dan manipulasi matriks. Awalnya, program ini merupakan interface untuk koleksi rutin-rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK dikembangkan menggunkan bahasa FORTRAN namun sekarang merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan menggunakan bahasa C++ dan assembler (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB). Dalam perkembangannya, MATLAB mampu mengintegrasikan beberapa software matriks sebelumnya dalam satu software untuk komputasi matriks. Tidak hanya itu, MATLAB juga mampu melakukan komputasi simbolik yang biasa dilakukan oleh MAPLE.

1.2 Rumusan Masalah

Yang menjadi rumusan masalah dalam makalah ini adalah :

a. Apakah Matlab itu?

b. Apa saja fungsi-fungsi yang terdapat pada Matlab dan kegunaan Matlab itu dalam berbagai bidang?

c. Bagaimana Pemecahan masalah pada Matlab?

1.3 Tujuan Makalah

Adapun Tujuan yang kami maksudkan dalam Makalah ini yaitu :

a. Dapat mengerti apa itu Matlab

b. Mengetahui apa saja fungsi-fungsi yang terdapat pada Matlab serta kegunaan Matlab itu sendiri

c. Mampu menggunakan pemecahan masalah pada Matlab dan dapat memecahkan masalah yang berhubungan dengan Matlab

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Apa itu Matlab

MATLAB adalah sebuah bahasa dengan (high-performance) kinerja tinggi untuk komputasi masalah teknik. Matlab mengintegrasikan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam suatu model yang sangat mudah untuk pakai dimana masalah-masalah dan penyelesaiannya diekspresikan dalam notasi matematika yang familiar. Penggunaan Matlab meliputi bidang–bidang:

• Matematika dan Komputasi

• Pembentukan Algorithma

• Akusisi Data

• Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototipe

• Analisa data, explorasi, dan visualisasi

• Grafik Keilmuan dan bidang Rekayasa

MATLAB merupakan suatu sistem interaktif yang memiliki elemen data dalam suatu array sehingga tidak lagi kita dipusingkan dengan masalah dimensi. Hal ini memungkinkan kita untuk memecahkan banyak masalah teknis yang terkait dengan komputasi, kususnya yang berhubungan dengan matrix dan formulasi vektor, yang mana masalah tersebut merupakan momok apabila kita harus menyelesaikannya dengan menggunakan bahasa level rendah seperti Pascall, C++ dan Basic. Nama MATLAB merupakan singkatan dari matrix laboratory. MATLAB pada awalnya ditulis untuk memudahkan akses perangkat lunak matrik yang telah dibentuk oleh LINPACK dan EISPACK. Saat ini perangkat MATLAB telah menggabung dengan LAPACK dan BLAS library, yang merupakan satu kesatuan dari sebuah seni tersendiri dalam perangkat lunak untuk komputasi matrix.

Dalam lingkungan perguruan tinggi teknik, Matlab merupakan perangkat standar untuk memperkenalkan dan mengembangkan penyajian materi matematika, rekayasa dan kelimuan. Di industri, MATLAB merupakan perangkat pilihan untuk penelitian dengan produktifitas yang tingi, pengembangan dan analisanya.

Fitur-fitur MATLAB sudah banyak dikembangkan, dan lebih kita kenal dengan nama toolbox. Sangat penting bagi seorang pengguna Matlab, toolbox mana yang mandukung untuk learn dan apply technologi yang sedang dipelajarinya. Toolbox toolbox ini merupakan kumpulan dari fungsi-fungsi MATLAB (M-files) yang telah dikembangkan ke suatu lingkungan kerja MATLAB untuk memecahkan masalah dalam kelas particular. Area-area yang sudah bisa dipecahkan dengan toolbox saat ini meliputi pengolahan sinyal, system kontrol, neural networks, fuzzy logic, wavelets, dan lain-lain.

MATLAB adalah sebuah program untuk menganalisis dan mengkomputasi numerik dan merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunkan sifat dan bentuk matriks. Awalnya, program ini merupakan interface untuk koleksi rutin-rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK dikembangkan menggunkan bahasa FORTRAN namun sekarang merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan menggunakan bahasa C++ dan assembler (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB).

MATLAB telah berkembang menjadi sebuah environment pemrograman yang canggih yang berisi fungsi-fungsi built-in untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier, dan kalkulasi matematis lainnya. MATLAB juga berisi toolbox yang berisi fungsi- fungsi tambahan untuk aplikasi khusus . MATLAB bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk ditambahkan pada library ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu. Kemampuan pemrograman yang dibutuhkan tidak terlalu sulit bila Anda telah memiliki pengalaman dalam pemrograman bahasa lain seperti C, PASCAL, atau FORTRAN. MATLAB merupakan merk software yang dikembangkan oleh Mathworks.Inc. merupakan software yang paling efisien untuk perhitungan numeric berbasis matriks.

Dengan demikian jika di dalam perhitungan kita dapat memformuklasikan masalah ke dalam format matriks maka matlabmerupakan software terbaik untuk penyelesaian numericnya. MATLAB (MATrix LABoratory) yang merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks sering digunakan untuk teknik komputasi numerik,yang digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi dll. Sehingga Matlab banyak digunakan pada :

§ Matematika dan Komputansi

§ Pengembangan dan Algoritma

§ Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototipe

§ Analisa Data , eksplorasi dan visualisasi

§ Analisis numerik dan statistik

§ Pengembangan aplikasi teknik

2.2 Fungsi-Fungsi Matlab

Dalam matlab ada beberapa kriteria dalam pengisian fungsi. Pada dasarnya semua tools yang disediakan oleh matlab di buat dalam format fungsi dan dikelompokkan dalam folder-folder toolbox. Selain menggunakan fungsi-fungsi yang telah disediakan oleh MATLAB, kita juga dapat membuat fungsi-fungsi sendiri sesuai kebutuhan. Keuntungan mebuat program dalam format fungsi adalah kemudahannya untuk digunakan kembali pada program yang lain. Untuk membangun sebuah fungsi, MATLAB memberikan kita satu pola penulisan untuk diikuti. Yaitu sebagai berikut:

Bagian 1 → Function [out1, out2,..] = Nama(un1,in2,..)

Bagian 2 → % Penjelasan fungsi

Bagian 3 → ‐‐‐Statement fungsi‐‐‐

‐‐‐Statement fungsi‐‐-

Ada 3 bagian pokok dalam penulisan fungsi, yaitu :

1. Bagian deklarasi fungsi

2. Bagian penjelasan fungsi

3. Bagian program utama

Dari ketiga bagian tersebut bagian dua yang bersifat opsional artinya boleh ada boleh juga tidak variabel out 1, out 2, in 1, in 2 adalah argumen output dan input fungsi dan juga input dan output yang dapat digunakan untuk fungsi tidak terbatas.

1. Fungsi Matematika Umum

Fungsi matematika umum dalam MATLAB terdiri atas fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, fungsi berkait bilangan kompleks serta fungsi pembulatan dan sisa. Pada sub bagian berikut akan diuraikan fungsi-fungsi tersebut lengkap dengan syntax-nya dalam MATLAB. (note: tanda “ “ menunjukkan syntaxnya dan “x” adalah bilangan konstan).

Fungsi trigonometri

Fungsi dasar trigonometri terdiri atas sinus, cosinus dan tangen. Fungsi tersebut dikembangkan menjadi secan, cosecan dan cotangen. Lebih lanjut fungsi-fungsi trigonometri dapat dikembangkan menjadi bentuk hiperbolik. Operasi yang dapat dilakukan pada fungsi tersebut adalah pencarian nilai dan invers (Arcus disingkatArc). Dalam MATLAB, setiap fungsi trigonometri mempunyai syntax tersendiri. Fungsi trigonometri lengkap dengan syntaxnya akan diperlihatkan pads uraian berikut:

• Fungsi sinus

Sinus x sin (x) : Arc sinus x asin (x)

Sinus hiperbolik x sinh (x) : Arc sinus hiperbolik x asinh (x)

• Fungsi cosinus

Cosinus x cos (x): Arc cosinus x acos (x)

Cosinus hiperbolik x cosh (x) : Arc cosinus hiperbollk x acosh (x)

• Fungsi Tangen

Tangen x tan (x): rc tangen x atan (x)

Tangen hiperbolik x tanh (x): Arc tangen hiperbolik x atanh (x)

• Fungsi Secan

Secan x sec (x): Arc secan x asec (x)

Secan hiperbolik x sech (x) : Arc secan hiperbolik asech (x)

• Fungsi Cosecan

Cosecan x csc (x) : Arc cosecan x acsc (x)

Cosecan hiperbolik x csch (x):Arc cosecan hiperbolik x acsch (x)

• Fungsi Cotangen

Cotangen x cot (x) : Arc Cotangen x acot (x)

Cotangen hiperbolik x coth (x) : Arc cotan hiperbolik x acoth (x)

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial secara matematis mempunyai beberapa bentuk. Pada uraian berikut akan diperlihatkan beberapa fungsi eksponensial lengkap dengan syntax-nya.

• Eksponensial : exp (x) , fungsi ini digunakan untuk mencari nilai ex, dengan e adalah bilangan natural (e=2,718281824459... ).

• Logaritma berbasis bilangan natural (e): elog x atau In x log (x), fungsi ini digunakan untuk mencari nilai logaritma berbasis ex.

• Logaritma berbasis bilangan konstan, misal y: ylog x’ 1ogy (x) , fungsi ini digunakan untuk mencari nilai logaritma berbasis y. Jadi, logaritma berbasis 10 tidak seperti biasanya yaitu ditulis dengan log x saja, tetapi dianggap sebagai bilangan y. Jadi, dalam MATLAB: 101og x ditulis log10 (x).

• Akar pangkat dua: sqrt (x), fungsi ini berguna untuk mencari akar pangkat dua dari x.

Fungsi yang berkait bilangan kompleks

Fungsi yang berkait bilangan kompleks, dalam MATLAB dituliskan dengan penambahan "i" atau"j" dibelakang bilangan pokok. Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk real atau sebaliknya. Pada uraian berikut diperlihatkan beberapa fungsi eksponensial lengkap dengan syntax-nya.

• Nilai mutlak: , digunakan untuk mencari nilai mutlak bilangan atau

• Nilai riff , digunakan untuk mengambil nilai real dari bilangan kompleks

• Nilai imajiner , digunakan untuk mengambil nilai imajiner dari bilangan kompleks

Fungsi pembulatan dan sisa

Fungsi pembulatan dan sisa dalam MATLAB, digunakan untuk menuliskan bilangan rill dalam bentuk bilangan bulat positif atau negatif.

• Pembulatan menuju integer terdekat: round (x) , fungsi ini digunakan untuk membulatkan x ke nilai integer terdekat.

• Pendekatan menuju nol: fix (x), fungsi ini digunakan untuk membulatkan x ke nilai yang lebih dekat 0.

• Pembulatan menuju -∞: flor (x) , fungsi ini digunakan untuk membulatkan x ke nilai yang lebih mendekati -∞.

• Pembulatan menuju +∞: ceil (x), fungsi ini digunakan untuk membulatkan x ke nilai yang lebih dekat +∞.

• Sisa setelah pembagian: rem (x, y), fungsi ini digunakan untuk mengambil sisa dari x/y dengan tanda yang sama dengan x.

2. Format Penulisan Angka

Format penampilan angka dalam MATLAB, digunakan untuk mengatur tampilan hasil perhitungan pada Command Window. Jika hasil perhitungan berupa bilangan bulat, MATLAB akan menampilkan sebagai bilangan bulat, sedangkan bilangan rill, ditampilkan dengan empat bilangan desimal. Tampilan ini dapat diatur dengan format penampilan angka dalam MATLAB. Misal: y = 100/3, dalam kedaan biasa (tanpa pengaturan format) y akan ditampilkan dengan format 33.3333. Berikut ini diuraikan beberapa perintah untuk mengatur penampilan angka pada Command Window lengkap dengan syntax-nya.

• format short: menghasilkan 33.3333

• format long: menghasilkan 33 .333333333334

• format short e: menghasilkan 3.3333e+001

• format long e: menghasilkan 3.333333333334e+001

• format short g: menghasilkan 33.333

• format long g: menghasilkan 33. 333333333333

• format hex: menghasilkan 4040aaaaaaaaaaab

• format bank: menghasilkan 33.33

• format +: menghasilkan +

• format rat: menghasilkan 100/3

Penting untuk diketahui bahwa format penampilan angka dalam MATLAB tidak mengubah representasi internal dari suatu bilangan.

3. Fungsi Array dan Matriks

a. Pembentukan array dan matriks

Array dan matriks ditampilkan dalam bentuk yang sama tetapi representasi internalnya berbeda. Berikut ini adalah perintah untuk membentuk array.

• x=m: n, membuat baris dengan elemen awal m, kenaikan 1 dan elemen akhir n atau sebelum n.

• x=m: k: n, membuat baris dengan elemen awal m, kenaikan k dan elemen akhir n atau sebelum n.

• x=linspace (m, n, k) , membuat baris dengan elemen awal m dan elemen akhir, dengan jumlah elemen sebanyak k.

• x=logspace (m, n, k) , membuat baris dengan elemen awal m dan elemen akhir n dengan jumlah elemen sebanyak k dalam skala logaritma.

• x=ones (m) , membuat array segiempat ukuran m x m dengan semua elemennya bernilai 1.

• x=ones (m, n) , membuat array segiempat ukuran m x n dengan semua elemennya bernilai

• x=zeros (m) , membuat array segiempat ukuran in m x m dengan semua elemennya bernilai 0.

• x=zeros (m, n) , membuat array segiempat ukuran m x n dengan semua elemennya bernilai 0.

• x=rand (m, n) , membuat array segiempat ukuran m x n dengan elemen-elemennya berupa bilangan random yang terdistribusi uniform dengan interval 0,0 sampai 1,0.

• x=randn (m, n) , membuat array segiempat ukuran m x n dengan elemen-elemennya berupa bilangan random yang terdistribusi normal dengan mean = 0 dan variasi = 1.

b. Operasi Aray

Operasi array merupakan operasi skalarterhadap elemen-elemennya. Misal diketahui suatu data:

a= [a, a2 a3…an ] ;b = [bI b 2 b 3… bn.]; c = c, operasi array yang dapat dilakukan adalah:

• Penambahan skalar: a+c=[a1+c a2+c a3+c ... an+c]

• Perkalian skalar: a*c= [al*c a2*c a3*c ... an*c]

• Penambahan array: a+b= [al+bl a2+b2 a3+b3 ... an+bn]

• Perkalian array: a. *b= [al*bl a2*b2 a3*b3...an*bn]

• Pembagian kanan array: a. /b= [al/bl a2/b2 a3/b3...an/bn]

• Pembagian kiri array: a. \b= [al\bl a2\b2 a3\b3 ... an\bn]

• Pemangkatan array-skalar-.a.^c=[al^c a2^c a3^c ... an^c]

• Pemangkatan skalar-array:c. ^a=[c^ai c^a2 c^a3 ... c^an]

• Pemangkatan array-array: a. ^b= [al^bi a2^b2 a3 ^b3 ... an^bn]

c. Operasi matriks

Operasi pada matriks dilakukan dengan menggunakan prinsip aljabar matriks. Berikut ini diuraikan beberapa operasi matiks.

• Transpose matriks: X = A => At X=A'

• Penjumlahan matriks: X = A => At X=A+B.

• Pengurangan matriks: X = A => At ---> X=A-B.

• Perkalian matriks: X = A => At --->X=A*B.

Operasi matriks lainnya seperti invers, determinan dan sebagainya dapat dilakukan jika syarat-syarat aljabar matriks terpenuhi. Bentuk seperti ini sering digunakan dalam analisis numerik untuk fisika komputasi.

d. Manipulasi array dan matriks

Manipulasi terhadap array dan matriks dapat mereduksi kerumitan metode komputasi. Misal dalam perhitungan numerik diketahui array data dengan variable induk A yang terdiri atas gabungan antara baris dan kolom. Array tersebut dapat dimodifikasi dengan perintah pengalamatan.

•A (i, j),mengalamati sub array A dengan indeks baris i dan kolom j.

•A (i, :), mengalamati sub array A pada semua kolom j.

•A(:, j), mengalamati sub array A dengan semua baris pada kolom j .

• A(:), mengalamati sub array A dengan semua baris pada semua kolom.

Pengalamatan yang dilakukan terhadap elemen array dapat digunakan untuk pangalamatan elemen matriks dengan ketentuan array tersebut sebelumnya telah dinyatakan dalam bentuk matriks.

2.3 Pemecahan Masalah Pada Matlab

1. Buatlah matriks A dan B ordo 4x4, dan tentukan :

a. Invers matriks A dan B

b. A x (B – 1)

c. Invers A x B

d. A²

e. Elemen matriks A dan B dengan 4

f. Pangkatkan dengan 2 setiap matriks A dan B

g. Determinan matriks A dan B

Jawab :

>> A=[ 6 5 8 7 ; 4 6 7 4 ; 3 4 2 8 ; 8 4 6 2 ]

A =

6 5 8 7

4 6 7 4

3 4 2 8

8 4 6 2

>> B=[ 5 4 6 7 ; 5 7 8 9 ; 8 6 4 2 ; 8 7 4 6 ]

B =

5 4 6 7

5 7 8 9

8 6 4 2

8 7 4 6

a. Invers matriks A dan B

>> inv(A)

ans =

-0.0525 -0.1377 0.0623 0.2098

-0.3902 0.3508 0.1508 0.0607

0.2820 -0.0098 -0.2098 -0.1279

0.1443 -0.1213 0.0787 -0.0770

>> inv(B)

ans =

0.2809 -0.2697 0.0618 0.0562

-0.4944 0.3146 0.0112 0.1011

0.1180 0.1067 0.2360 -0.3764

0.1236 -0.0787 -0.2528 0.2247

b. A x (B – 1)

>> A*(B-1)

ans =

149 130 110 119

117 107 95 99

98 91 73 92

104 90 92 96

c. Invers A x B

>> inv(A)*B

ans =

1.2262 0.6689 -0.3279 -0.2230

1.4951 2.2246 1.3115 1.0918

-1.3410 -1.0951 0.2623 0.6984

0.1279 -0.3393 -0.0984 -0.3869

d. A²

>> A^2

ans =

136 120 141 140

101 100 112 116

104 79 104 69

98 96 116 124

e. Elemen matriks A dan B dengan 4

>> A=[ 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ]

A =

4 4 4 4

>> B=[ 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ; 4 4 4 4 ]

B =

4 4 4 4

f. Pangkatkan dengan 2 setiap matriks A dan B

>> A.^2

ans =

16 16 16 16

>> B.^2

ans =

16 16 16 16

g. Determinan matriks A dan B

>> det A

ans =

>> det B

ans =

2. Membuat plot

>> x=0:2:360;

>> y=sin(x*pi/180);

>> plot(x,y)

hasil yang diperoleh adalah :

3.Vektor

>> a = [ 1 2; 3 4 ]

>> a * a

>> b = [ 1 2; 0 1 ]

>> a*b

>> b*a

>> a + b

>> s = a + b

>> inv(s)

>> s * inv(s)

>> s/s

>> s\s

>> inv(s) * s

>> a/b

>> a\b

>> c = [ 1 1; 1 1 ]

>> inv(c);

4. Untuk membuat grafik y = sin(t) pada interval t = 0 to t = 10

>> t = 0:.3:10;

>> y = sin(t);

>> plot(t,y)

5. Untuk menggambarkan grafik :z(x,y) = x exp( - x^2 - y^2):

>> [x,y] = meshdom(-2:.2:2, -2:.2:2);

>> z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);

>> mesh(z)

6. Penentuan volume silinder berlubang

Sebuah silinder mempunyai diameter luar 6.3125 dan diameter dalam 5.762 , tentukan volumenya bila diketahui rumus untuk mencari volumenya :

V = 4π RE − RI

Dimana RE adalah diameter luar dan RI adalah diameter dalam

Penyelesaian :

re=6.3125;ri=5.762;

v=4/3*pi*(re^3-ri^3);

disp(['Volume = ',num2str(v)])

Volume = 252.3169

BAB II

KESIMPULAN

• Matematika dan Komputasi

• Pembentukan Algorithma

• Akusisi Data

• Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototipe

• Analisa data, explorasi, dan visualisasi

• Grafik Keilmuan dan bidang Rekayasa

Ada 3 bagian pokok dalam penulisan fungsi, yaitu :

1. Bagian deklarasi fungsi

2. Bagian penjelasan fungsi

3. Bagian program utama

catatan dedes

Rabu, 30 Mei 2012

Matrix laboratory

2 komentar: